, Université d'Angers (2 Boulevard Lavoisier,
49045 Angers), Bâtiment I, en salle i001. Le plan du campus se trouve
- 10:00 Accueil des participants
- 10:10-11:00 Clément Foucart (Paris 13)
Processus de Markov positifs en dualité de Laplace
L'objectif de cet exposé, basé sur un travail commun avec Matija Vidmar, est d'étudier la classe des processus de Markov positifs qui admettent une relation de dualité de Laplace : les transformées de Laplace des processus sont reliées en échangeant les rôles de l'argument et de l’état initial. Ce type de dualité apparaît naturellement, par exemple, dans des systèmes présentant des phénomènes de branchement. Au-delà du cadre classique du branchement, nous montrons qu’une grande variété de processus et de générateurs sont en dualité de Laplace.
Dans un premier temps, d’un point de vue théorique, nous établissons qu’un processus admet un dual de Laplace si et seulement si son semi-groupe laisse invariant l’espace des fonctions complètement monotones (sous réserve de conventions pour \(0 \times \infty\) et \(\infty \times 0\)). D'un point de vue plus constructif, nous identifions ensuite sept briques fondamentales à partir desquelles une telle dualité peut être construite. Les processus associés peuvent être vus comme des généralisations des processus de branchement à état continu et incluent plusieurs modèles — parfois introduits indépendamment de la dualité — utilisés pour représenter des environnements aléatoires, l’immigration, la compétition et d’autres dynamiques. Un outil analytique central, développé ici dans un cadre général et unificateur, est la notion de symbole de Laplace associé à un générateur.
- 11:00-11:50 Isabella Gonçalves de Alvarenga (Orléans)
The rightmost particle of the contact process on random dynamical environments
The contact process with inherited sterility provides a probabilistic framework for studying population control strategies inspired by the Sterile Insect Technique. Unlike full sterilization, where treated males lose competitiveness, the inherited sterility method introduces only partial sterility that is passed on to descendants, allowing the suppressive effect to propagate across generations. To analyse this model, and to compare it with related dynamics, we also introduce the Spont process, another example of a contact process in a random dynamical environment. We will define the dynamics of both processes on the one-dimensional integer lattice. In both cases, our main result is a central limit theorem for the position of the rightmost occupied site. The two models pose distinct challenges: the Spont process lacks self-duality, while the inherited sterility model is non-attractive. Our approach combines a renewal-time construction with a careful analysis of active infection paths, leading to an embedded i.i.d. structure for the increments of the position of the rightmost occupied site.
- 12:00 Déjeuner au Foyer Darwin
- 13:50-14:40 Hermine Biermé (Tours)
The anisotropy of Gaussian random fields through their
Lipschitz-Killing curvature densities
I will present a joint work with Agnès Desolneux (CNRS, Centre
Borelli, ENS Paris-Saclay) on the geometry of excursion sets of smooth
stationary Gaussian fields.
In this work we focus on the effect of anisotropy on their
Lipschitz-Killing curvature densities (close from area, perimeter and
Euler characteristics of excursion sets in 2D) and propose
a new geometrical index of anisotropy, closely linked with isoperimetric
inequalities.
- 14:40-15:30 Alexandre Popier (Le Mans)
Reflected SDEs in time dependent non smooth domains. Applications to PDEs with Neumann boundary condition.
In this talk, I will present new results on reflected stochastic differential equations (SDEs) in time dependent non smooth domains and on the related semi-linear partial differential equations (PDEs) with Neumann boundary condition.
This topic has been extensively studied, notably in the case of time-independent or regular domains; we will review the existing literature. In our paper we consider the normal reflection when the domain depends on time, is not smooth with convex time-slices. The existence and uniqueness of the solution of the reflected SDE is obtained through a strong penalization approximation using a sequence of standard diffusions, together with an additional regularization of the domain by smooth time-dependent domains.
Then, we study the corresponding generalized backward SDEs and derive a Feynman–Kac representation of the solution to PDEs with Neumann boundary conditions. We will highlight the difficulties arising from the lack of regularity of the domains, notably with regard to the total variation of the increasing process associated to the reflection.
This presentation is based on joint work with Manal Jakani.
- 15:30 Pause
- 15:45-16:35 Slim Kammoun (Poitiers)
Mots de matrices de permutation aléatoires
Choisissons aléatoirement une permutation de taille \(N\) selon la loi uniforme et intéressons-nous
à des observables telles que la longueur de la plus longue sous-suite croissante, le nombre de
descentes, le nombre de cycles d’une taille donnée, etc. Le comportement asymptotique de ces
observables lorsque N devient très grand est bien compris. En particulier, on peut montrer
facilement que la distribution conjointe des traces des puissances des matrices de permutation
est asymptotiquement de type Poisson. A présent, si l’on considère non plus une seule permutation,
mais un mot formée de plusieurs permutations indéependantes uniformes, on sait, grâce
aux travaux de Nica, Puder et autres, que le comportement asymptotique de la trace du mot
dépend des propriétés algébriques du mot considéré. Dans cet exposé, je reviendrai sur le cas
uniforme et présenterai une généralisation aux permutations invariantes par conjugaison.
Cet exposé est basé sur un travail avec Mylène Maïda et un travail en cours avec Maxime Février et Sandrine Dallaporta.
